2. Деформация жылдамдығы және құйындану.

Жылдамдықтың лездік өрісінің кеңістіктік градиенті жылдамдық градиентінің тензоры – ді (немесе ) береді. Бұл тензорды симметриялы және антисимметриялы бөліктерге келесі түрде жіктеуге болады:

немесе                                                                                               (2.19)

.

Мұндағы симметриялы тензор

  немесе        (2.20)

деформация жылдамдығының тензоры деп аталады.

Ал антисимметриялы тензор

   немесе       (2.21)

құйын немесе құйындану тензоры деп аталады.

 сызықтық деформация болғанда, деформация жылдамдығының тензоры сызықтық эйлерлік тензордан уақыт бойынша алынған туындыға тең болатының көрсетейік. Егер

  немесе  , (2.22)

өрнегіндегі уақыт және координата бойынша дифференциалдау операторларының орнын ауыстырсақ, яғни  – ді – ға ауыстырсақ, онда жоғарыдағы өрнек келесі түрге келеді:

  немесе  . (2.23)

Тура осы тәсілмен құйын тензоры сызықтық Эйлерлік тензордан уақыт бойынша алынған туындыға тең болатынын көрсетуге болады:

   немесе  . (2.24)

(2.23) теңдігін келесі түрде де жазуға болады:

                    немесе    .                     (2.25)

Q бөлікшенің P нүктесіне қарағандағы (2.1-сурет) жылдамдығы келесі өрнекпен анықталады:

                     немесе     .             (2.26)

Мұндағы . Бұл өрнекті  арқылы да жазуға болады:

         немесе     .            (2.27)

Егер  болса, онда

                     немесе     ,                    (2.28)

2.1 – сурет.

және Р нүктесінің маңайындағы қозғалыс абсолютті қатты дененің айналуы болып шығады. Сондықтан, егер құйындану тензоры  барлық нүктеде нөлге тең болса, онда жылдамдық өрісін құйынсыз деп атайды.

Құйындану тензорымен ассоциативті вектор келесі қатынаспен анықталады:

                     немесе     ,                      (2.29)

және құйындану векторы деп аталады.

Келесі вектор

         немесе     ,         (2.30)

жылдамдық векторы деп аталады.

(2.28) формулада алынғандай абсолютті қатты дененің айналуындағы Р нүктесіне көршілес және одан  қашықтықта орналасқан бөлікшенің салыстырмалы жылдамдығы келесі формуламен анықталады:

                     немесе     .          (2.31)

Деформация жылдамдығы тензорының физикалық мағынасын ашайық. Диагональдық элементтер деп координата осьтерінің бойында орналасқан кесінділердің салыстырмалы ұзару жылдамдықтарын айтамыз. Таза деформация үшін (2.27)-ден келесі теңдік шығады:

                      немесе           .        (2.32)

Яғни  сызықтық элементінің бірлік ұзындыққа келетін ұзару жылдамдығының өзгеруі, 

       немесе   ,         (2.33)

өрнегімен анықталса, онда  бірлік векторының бағытындағы ұзару жылдамдығы келесі формуламен анықталады:

         немесе     .               (2.34)

Егер   болса, онда (2.34) формуласы бойынша

                      немесе       .                      (2.35)

Мұндағы (ij) ығысу жылдамдығы, яғни координата осьтерінің бойында орналасқан кесінділердің бағыттарының арасындағы тік бұрыштың өзгеру жылдамдығының өлшемі болып табылады. – екінші рангілі тензор болғандықтан, ол үшін бас осьтер, бас мәндер, инварианттар, деформациялар жылдамдығының беті және деформация жылдамдығының девиаторы бар болады. Бұл тензор үшін үйлесімділік теңдеуін де жазуға болады.

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар